Desde hace siglos el humano ha intentado, con mayor o menor éxito, develar los misterios de la naturaleza, encontrar patrones que permitan entenderla e, incluso, predecir su comportamiento. Grandes logros se han alcanzado, considerando que hoy en día los habitantes de este planeta, que no es más que una minúscula partecita del cosmos, cuentan con descripciones bastante precisas de diversos fenómenos que los rodean, sobre todo de aquellos cotidianos. De esta manera, sucesos en los que no solemos detenernos y hoy pueden ser descriptos con enorme nivel de detalle, antaño significaron un rompedero de cabeza para muchos pensadores. Repasemos algunos de especial interés para el autor de este texto:

• • Fue en el siglo I d.C. que Herón de Alejandría enunció, en su libro Catóptrico, que la luz se desplaza de manera que recorre siempre el camino geométricamente más corto, desde su fuente a un punto de interés, siempre y cuando no cambie de medio[1](por ejemplo, aire).

• • Unos cuantos siglos después, allá por el año 1662, un tal Pierre de Fermat ^[a] retomó la idea de Herón y le dio una vuelta de rosca: así concluyó que los rayos de luz recorren el camino que menos tiempo les insume [1].

• • ¿Cuántas veces hemos dejado caer objetos, aun nuestra saliva (...), desde la altura? Y claro, nunca vimos que, a menos que estemos en medio de un tornado o algo por el estilo, el objeto en cuestión recorra una trayectoria curva. No, el objeto, por ejemplo una sandía, describirá una línea recta hasta reventar contra el piso. ¿Por qué una línea recta? Bueno, es el camino más corto entre dos puntos.

• • Siguiendo con los juegos-experimentos infantiles, ¿quién no ha hecho burbujas de jabón de chico? (o de grande. A la física no le importa demasiado). El lector algo observador habrá notado que, a menos que se tuviera demasiado éxito y las pompas sean muy grandes, estas tienden a adoptar una forma más o menos esférica. De hecho, seamos observadores o no, nuestra intuición nunca nos haría pensar que la burbuja crecerá con forma cúbica o forma tetraédrica (de pirámide, bah). Siempre son esferas. Y el día en que veamos que las burbujitas que suben en el vaso de gaseosa no son esféricas, el mundo estará patas arriba.

A esta altura notamos que la naturaleza parece que siempre quiere ahorrar alguna magnitud: distancia, tiempo, etc. En palabras de Maupertuis, matemático y astrónomo francés del siglo XVIII, la naturaleza actúa siempre “gastando” la menor cantidad de energía posible[2] En los tres primeros ejemplos vistos arriba, es fácil entender cuál es la cantidad que la naturaleza "ahorra". En el último de los ejemplos, la forma esférica adoptada por las burbujas se debe a que la esfera es el cuerpo geométrico de menor superficie para un volumen dado que existe. Por ejemplo, si tenemos una esfera y un cubo del mismo volumen, este último tendrá una superficie mayor ^[b]. ¿Y qué pretende ahorrar la naturaleza en este caso? Fácil: material. Material para fabricar esa superficie (claramente: detergente o jabón).

Formalismo: Mínima acción

Aunque solo se han mostrado pocos ejemplos, y que algunos tildarán de poco importantes, el comportamiento que caracteriza a la naturaleza (y toda la existencia), que la lleva a minimizar magnitudes trascendentes es conocido como Principio de mínima acción, y juega un rol fundamental en la descripción de diversos fenómenos. Este principio no se limita a la denominada Física clásica^[c], sino que alcanza además a la física relativista, que describe fenómenos que ocurren a velocidades cercanas a la de la luz, o a la teoría cuántica de campos, aquella que se centra en los campos como objeto de estudio en lugar de describir fenómenos de partículas^[d]. ¿A qué llamamos acción? Siendo simplista, podría decirse que es el balance entre la energía cinética y la energía potencial con el tiempo en que el sistema desarrolla cambios. Recordemos que la energía cinética es aquella que depende de la masa y la velocidad de un cuerpo, y la energía potencial es la que depende de la configuración del sistema. Lo importante es que el valor de este balance debe ser el mínimo de muchos posibles en un intervalo temporal fijo[3]. En lenguaje formal y sintético sería:

$$\delta I=\int^{t_2}_{t_1} L \hspace{2 pt} dt = 0.$$

• • El símbolo \(\delta\) indica variación,

• • \(I\) es la llamada acción del sistema,

• • \(L\) es el Lagrangiano, nombrado así en honor a Joseph-Louis Lagrange, y su valor es \(K-U\). \(K\) es la energía cinética de los cuerpos y \(U\) su energía potencial.

Aplicaciones interesantes

Alguna vez ciertas personas se preguntaron cuál será la trayectoria que seguirá un cuerpo al moverse entre dos puntos cuando está sujeto a las fuerzas de la gravedad. Si el objeto se mueve libremente, como vimos antes, la trayectoria será un línea vertical. ¿Y si debiera describir una trayectoria curva? Acá es donde interviene el principio de mínima acción. Aplicando el formalismo matemático se puede demostrar (gastando bastante tinta) que la curva descripta por el cuerpo será una braquistócrona[3]. ¡¿Braquis...qué?! Es la curva roja en la Figura 3.

Otra aplicación muy importante consiste en determinar cuál es la forma que adopta una cadena o una cuerda suspendida entre dos puntos. A simple vista, parecería que tal curva es una parábola. Pero no: es una catenaria[3]. En la Figura 4 se muestran tres catenarias como Dios manda.

En este caso, ¿cuál es la magnitud minimizada? Spoiler alert: la tensión. Por esta razón, la catenaria invertida es muy usada en arquitectura, ya que es la mejor forma de erigir arcos sin que los materiales deban soportar esfuerzos tangenciales. El arquitecto catalán Antoni Gaudí utilizó profusamente la curva catenaria en sus construcciones. Antes de su obra, se la había usado casi exclusivamente en la construcción de puentes, sin embargo, Gaudí logró llevarla a terrenos cotidianos con notable astucia. En las Figuras 5, 6 y 7 pueden verse ejemplos de construcciones de Gaudí.

El desarrollo íntegro del electromagnetismo hace uso del principio de mínima acción para explicar cómo se comportan los campos electromagnéticos incluyendo correcciones relativistas. De la utilización de este principio pueden obtenerse las leyes de Maxwell, que describen completamente el electromagnetismo. Ellas son^[e]:

$$\begin{align} & \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}, \\ & \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,\\ & \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},\\ & \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \big( \mathbf{J}+\epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\big). \end{align}$$

Incluso, estas relaciones adoptan una forma más simple (y hermoso, opina el autor). Para ello es necesario realizar un desarrollo covariante del electromagnetismo^[f]:

Con esas nuevas reglas de juego, la primera y cuarta ecuaciones pueden escribirse como:

$$\begin{align} &\partial_\mu \mathbf{F}^{\mu \nu}=\mu_0 \mathbf{J}^{\nu}. \end{align}$$

La seugnda y tercera ecuaciones resultan: $$\begin{align} &\partial_\mu \ast \mathbf{F}^{\mu \nu}=0. \end{align}$$

Se insta al lector ávido de conocimientos a descubrir qué significan estos simbolitos. No será tarea fácil, pero la recompensa valdrá la pena. En una próxima entrega se ahondará en la formulación Lagrangiana y la obtención de las ecuaciones de movimiento, así como sus diferencias respecto de la famosísima formulación Newtoniana.

¿Querés saber más?

Wikipedia: Formalismo matemático.

Wikipedia: Principio de mínima acción.