Formulación vectorial

Para empezar debemos remontarnos a lo que aprendimos (bah, no puedo poner las manos en el fuego por nadie) en la secundaria: la formulación newtoniana de la cinemática y la dinámica. A pesar de su nombre, enormes contribuciones a ella fueron realizadas originalmente por Galileo Galilei, quien asentó experimental y empíricamente algunas de las leyes que luego el archi conocido Sir Isaac Newton utilizaría para alcanzar una descripción formal (y fundamental) de la mecánica.^[a] En su obra maestra, denominada Philosophiæ naturalis principia mathematica, que era el nombre que se le daba a lo que llamamos Física hoy en día, Newton postuló, entre otras cosas, tres leyes fundamentales:

1. Primera Ley, llamada también Principio de inercia: dice que "todo cuerpo tiende a continuar en estado de reposo o Movimiento Rectilíneo y Uniforme (MRU) a menos que una fuerza actúe sobre él".^[b] El alcance de lo propuesto en este principio es difícil de imaginar. No sólo nos regala el concepto de inercia, sino que permite definir un tipo de sistemas de referencia: el sistema inercial, que es aquel que no está acelerado.

via GIPHY - El pequeño cae del trineo debido a la inercia.

2. Segunda Ley:  ∑ F = m.a    ¡Jah! Un clásico (nunca mejor dicho). Aquí ∑, la letra sigma mayúscula, indica una sumatoria o suma, F denota las fuerzas aplicadas al cuerpo, a es la aceleración que adquiere la partícula por efecto de tales fuerzas, y m es la masa del cuerpo: es decir, la cuantificación de la inercia. Dicho de otra forma: es cuánto se resiste el cuerpo a ser acelerado.^[c]

3. Tercera Ley, conocida como Principio de acción y reacción: expresa que "a toda acción (entendida como fuerza^[d]) le corresponde una reacción de misma intensidad, en la misma dirección, pero en sentido opuesto". En idioma matemático: F₁₂ = -F₂₁

Es muy importante hacer notar al lector que:

• Las fuerzas y la aceleración están en negrita. Ajá, ¿Y...? Que son magnitudes vectoriales: para definirlas necesitamos un número (módulo o intensidad), una dirección y un sentido.

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• El principio de inercia indica que las leyes de Newton son aplicables a sistemas denominados inerciales. Pero no a sistemas acelerados.

¿Y qué significa todo esto? Por un lado, que la naturaleza vectorial del desarrollo newtoniano implica algunas complicaciones matemáticas que agregan dificultad a la resolución de ciertos problemas.

Por otro lado, si trabajamos en sistemas acelerados, es necesario "inventar" fuerzas (conocidas como ficticias) o pseudofuerzas para que la teoría newtoniana siga valiendo. Por ejemplo cuando un auto dobla, sus ocupantes tienden a caer sobre las puertas que los retienen, a menos que se abran. ¡Claro, es la fuerza centrífuga! No... La centrífuga no es una fuerza. Es una pesudofuerza; es consecuencia de la inercia. Nuestro cuerpo quiere seguir en MRU pero el auto nos conduce.

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Existe otra complicación en la formulación de Newton: ¿qué pasa si queremos estudiar la dinámica de partículas obligadas a moverse, por ejemplo, sobre una esfera o dentro de una región determinada? Imaginemos una hormiguita caminando por una manzana, las moléculas del agua caliente dentro del termo (cerrado) o el comentado caso de las personas dentro del auto (que no se abre). Estos son ejemplos de condiciones de ligaduras. Una de las dificultades que agregan las ligaduras es que estas no son conocidas en general, y de hecho, son parte de la solución buscada.

Formulación de Lagrange

En el artículo gemelo de este se trató el principio de mínima acción y su relación con la llamada función Lagrangiana, función de Lagrange o, directamente, Lagrangiano. Este tema quedó un poco en el aire, y se propone ahora un acercamiento un poco más exhaustivo a él.

Para ser justos debemos darle parte del crédito a Jean le Rond d'Alambert, quien mediante su formulación de trabajos infinitesimales contribuyó a eliminar una de las complicaciones: las ligaduras.^[e] Trabajando sobre las ideas del Principio de d'Alambert (el de trabajos infinitesimales) es posible obtener las llamadas Ecuaciones de Euler-Lagrange:

$$\begin{align} \frac{d}{dt}\bigg( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_j}}\bigg)-\bigg( \frac{\partial L}{\partial q_j}\bigg) = 0. \end{align}$$

Acá debemos recordar que L = K - U es el Lagrangiano, la diferencia entre energía cinética (K) y potencial (U) del o de los cuerpos. Las q_j son coordenadas generalizadas y q̇_j son velocidades generalizadas. ¿Por qué generalizadas? Porque no son las coordenadas cartesianas del espacio 3D al que estamos acostumbrados. De hecho, eso hace a esta formulación tan... general, claro... Es posible abstraerse y trabajar en un espacio de coordenadas, velocidades o fuerzas generalizadas que podemos ligar entre ellas. De esta manera nos ahorramos variables independientes a determinar. Veamos un ejemplo clásico: la máquina de Atwood, formada por dos masas suspendidas, M₁ y M₂, unidas por una cuerda inextensible que se desliza en torno a una polea. Para mayor claridad, ver la Figura 4.

La utilización de las ecuaciones de Euler-Lagrange permite hallar las ecuaciones de movimiento buscadas en el espacio generalizado. Después, se puede volver al espacio euclídeo que entendemos mucho mejor y listo.

¡Pero espere, porque hay más! De hecho, hay dos ventajas enormes que nos brinda la formulación de Lagrange:

• El lagrangiano, por ser un balance de energías, es una magnitud escalar. Es decir, solo se necesita un número para definirla. Recordemos que la formulación newtoniana hace uso de vectores.

• Existen casos en los que no es posible usar la mecánica de Newton, pero sí usar la lagrangiana. Por ejemplo, en terreno de la Mecánica cuántica, donde no es posible definir con toda certeza conceptos como desplazamiento o velocidad.

Incluso es posible que los lagrangianos que encuentra a partir de las energías cinética y potecial, estimado lector, no sean los mismos que los de sus amigos, y aun así todos lleguen a las mismas ecuaciones de movimiento, ya que la elección de la función de Lagrange no es única.

No es objetivo de este escueto texto ahondar en las bondades de una u otra formulación. Para finalizar, se recordará que, como se vio en el artículo hermano de este, el Lagrangiano es utilizado en el principio de mínima acción:

$$\begin{align} \delta I = \int_{t_1}^{t_2} L (q, \dot{q}, t) dt = 0 \end{align}$$

Dado que el principio de mínima acción vale en muchos escenarios, la búsqueda de Lagrangianos adecuados se torna fundamental en el modelado de diversos fenómenos. Como se ha visto, es posible utilizar esta formulación en casos cotidianos y simples, pero también alcanza formulaciones exquisitas y de alta complejidad, como lo es la Teoría cuántica de campos, en la que las simetrías y supersimetrías del universo juegan un rol preponderante.

Como corolario del principio de mínima acción, y con mucho tiempo y estudio, puede ser descubierta la intimidad de la naturaleza dentro de la cual distintas magnitudes físicas se conservan: la energía, la cantidad de movimiento, el momento angular, la carga eléctrica, la masa en reposo, etc.

Se invita al lector intrigado a inmiscuirse en las entrañas de la mecánica clásica para descubrir los fundamentos de la formulación lagrangiana y sus alcances. No le aseguramos que pueda reparar una moto o cambiarle el cuerito a una canilla. No, porque cuando decimos mecánica, no nos referimos a los que conocemos como tal en lo cotidiano. Sino a una rama de la física hermosa y matemáticamente bien desarrollada que no decepciona a ningún perro verde. Con suerte y mucho esmero, tal vez seamos tantos los interesados en estas artes que ¡ya no seremos considerados moscas blancas!

Notas

[a]: Entendemos por Mecánica la rama de la física que describe el estado movimiento o reposo de las partículas sometidas a fuerzas.

[b]: O que varias fuerzas actuantes den como resultado una fuerza no nula.

[c]: Hay quienes entienden a la masa como la cantidad de materia del cuerpo. Este concepto es erróneo, pero no se ahondará en ello por el momento.

[d]:No confundir con la del principio de mínima acción.

[e]:No es objetivo de este texto detallar sobre este principio. Para más información, ir a la sección ¿Querés saber más?