Seguramente, en más de una oportunidad habremos escuchado, con referencia a un problema de muy difícil solución (tipo la economía argentina), expresiones del tipo "pretender resolver este problema es como la cuadratura del círculo", dando a entender, por el tono en que se pronuncia la frase, que el problema de marras será (irremediablemente) irresoluble. A fin de explicar claramente qué significa "cuadrar el círculo", vamos a poner este asunto en su contexto adecuado.

En esta nota nos referiremos a una cuestión denominada, genéricamente, la irresolubilidad de ciertos problemas geométricos. Vamos a considerar qué significa dicha irresolubilidad, cuáles son las condiciones en que dichos problemas son no-resolubles y, si, aliviando las condiciones pueden, en definitiva, resolverse.

Hay que aclarar que nos estamos refiriendo a la resolución (o no) desde un punto de vista rigurosamente válido y no desde el punto de vista práctico ya que, para muchas necesidades de la vida diaria y de la técnica, es fácil encontrar construcciones aproximadas con errores suficientemente pequeños.

Construcciones geométricas con regla y compás; algunos problemas resolubles

Los geómetras griegos se interesaron especialmente en una clase de problemas que debían resolverse usando solamente regla y compás. Además, estos instrumentos sólo se pueden utilizar en la forma siguiente:

a) la regla, para trazar rectas que pasen por dos puntos dados, o construidos a partir de los dados (no tiene que estar marcada o, lo que es lo mismo, no hay que usar las marcas para ninguna operación).

b) el compás, para trazar circunferencias cuyo centro sea un punto dado o ya construido a partir de los dados y cuyo radio sea la distancia entre dos puntos dados o construidos a partir de los dados.

Los griegos resolvieron muchos problemas de este tipo como, por ejemplo: 1) construir el cuadrado de área doble de uno dado, 2) dividir un ángulo en dos partes iguales, 3) construir el cuadrado de la misma área que un triángulo dado.

La resolución de estos problemas puede verse en cualquier texto de geometría elemental, y forma parte del legado de Euclides, en su obra magna, Elementos [1].

Los problemas irresolubles (con regla y compás)

Los problemas siguientes se hicieron famosos porque resistieron todos los esfuerzos para resolverlos (con regla y compás). Dichos problemas son:

1) La duplicación del cubo, es decir la construcción del cubo de volumen doble de uno dado.

2) La trisección del arco, es decir la división de un ángulo cualquiera en tres partes iguales.

3) La cuadratura del círculo, es decir la construcción de un cuadrado de la misma área que un círculo dado.

Punto de vista de la Geometría Analítica (y del Álgebra)

Se puede siempre considerar que los únicos datos son los puntos, ya que siempre es posible reemplazar las rectas por dos puntos cualesquiera y las circunferencias por su centro y un punto cualquiera de la curva. El teorema fundamental expresa, en términos sencillos, que las construcciones con regla y compás serán posibles si tratamos con operaciones racionales y extracciones de raíces cuadradas (¡solamente!). Por ejemplo, para construir el cuadrado de área doble de uno dado procedemos así. El área dada de un cuadrado de lado l será A₁= l². Si queremos un área A₂ = 2A₁; con A₂ = x₂; necesitamos que x esté relacionado con l mediante x² = 2l²; es decir x = l √2. Por lo tanto, el problema es resoluble con regla y compás.

Se demuestra, con las herramientas que pueden aprenderse en los cursos de primer año de las carreras basadas en la Matemática (Matemática, Física, Ingenierías), que la irresolubilidad de los mentados problemas es tal en cuanto a que no pueden resolverse con regla y compás.

Construcciones mediante el trazado de curvas no construibles con regla y compás

Los griegos imaginaron resolver los problemas antedichos trazando en el plano curvas distintas de la regla y la circunferencia con la ayuda de instrumentos distintos de la regla y el compás. Mediante el trazado de la cisoide de Diócles resolvieron el problema de la duplicación del cubo, mediante el uso de la concoide de Nicomedes resolvieron el de la trisección del ángulo y mediante el uso de la cuadratriz de Dinostrato, el de la cuadratura del círculo. Las curvas mencionadas, así como la forma de construirlas, pueden verse en [2].

El uso de curvas auxiliares

Los problemas de la duplicación del cubo y la trisección del ángulo pueden resolverse con regla y compás si se supone, además, que se ha trazado en el plano previamente una elipse, hipérbola o parábola arbitraria. Estas cuestiones pueden leerse en la obra, de carácter universitario, debida a Rey Pastor, Santaló y Balanzat [2].

Si marcamos la regla

Si permitimos que a la regla puedan hacérsele marcas, otras construcciones son posibles. Así, el problema de la trisección del ángulo fue lograda por Arquímedes usando la regla de manera no permitida por las normas de la Sección 2. Puede verse en el magnífico libro debido a Courant y Robbins [3].

¿Qué otros problemas irresolubles de la Matemática conoces? ¿Sabías que existen problemas cuya resolución está valuada en un millón de dólares? Dan ganas de estudiar un poco más de geometría y álgebra, ¿no?

Referencias

[1] Euclides, Elementos, Editorial Gredos (España).

[2] J. Rey Pastor, L. Santaló y M. Balanzat, Geometría Analítica, Editorial Kapelusz (Buenos Aires). Se encuentra en la Biblioteca de la UNCPBA.

[3] R. Courant y H. Robbins, ¿Qué es la Matemática?, Editorial Aguilar (España). Se encuentra en la Biblioteca de la UNCPBA.